Todo el material es elaborado y diseñado por María de Lourdes Radillo Paz
jueves
CIRCUNFERENCIA
Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
Saludos cordiales
María de Lourdes Radillo Paz
¿Cómo identificar desde la observación que una ecuación es una circunferencia?
Saludos cordiales
María de Lourdes Radillo Paz
EJEMPLO PARA ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA, DONDE TE DAN UN PUNTO Y UNA ECUACIÓN
CASO:
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es C (2,0) y es tangente a la recta:
𝑥 − 𝑦 + 4 = 0
SOLUCIÓN:
Se describe en la imagen.
Saludos cordiales
María de Lourdes Radillo Paz
ELIPSE
¿Qué es una elipse?
La elipse es el lugar geométrico de todos los
puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos
fijos, llamados focos, es constante.
Los elementos de una elipse más importantes son: Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse.
La suma de las dos distancias de cualquier
punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
Eje focal o principal: es la recta que pasa
por los focos, el centro y también por dos vértices.
¿Cuántos lados tiene una
elipse?
Respuesta:
Existen dos lados rectos ya que hay dos
focos.
¿Cuáles son los tipos de
elipse?
Respuesta:
Tipos de Elipse:
• Elipse
de Eje Horizontal.
• Elipse
de Eje Vertical.
Cuando el eje mayor se encuentre en el de ordenadas y el menor en el de las abscisas decimos que se trata de una elipse vertical.
Se trata de una elipse horizontal, Si los
focos están situados en (0, -3) y (0, 3) y ésto significa que el eje mayor es
vertical y horizontal el menor y se trata de una elipse vertical.
¿Cuál es el lado recto de
la elipse?
Respuesta:
Lado Recto (LR): Segmento de recta perpendicular al eje mayor, contiene a un foco (cualquiera de los dos) y sus extremos se localizan sobre la elipse.
¿Dónde se aplica la elipse en la vida diaria?
Respuesta:
Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos de luz y sonido, pues la emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro foco.
Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.
¿Cómo encontrar el centro
de la elipse?
Respuesta:
El centro tiene que estar ubicado a la mitad de los dos vértices.
Haciendo una gráfica con las coordenadas de los vértices, se deduce fácilmente que el centro está en O(-3, 0), es decir que h = -3 y k = 0; además, se trata de una elipse vertical.
¿Cómo se halla el vértice
de una elipse?
Respuesta:
Los puntos en los que la elipse corta a sus
ejes A, 'A , B y 'B se llaman VÉRTICES de la elipse.
Por el centro de la elipse “C ” se trazan varios radios que cortarán a las 2 circunferencias en los puntos P y Q. paralelas al eje mayor, el punto de cruce ”M ” de estas rectas paralelas, son puntos de la elipse.
Saludos cordiales
María de Lourdes Radillo Paz
¿Cómo identificar desde la observación que una ecuación es una elipse?
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María de Lourdes Radillo Paz
HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
Elementos de la hipérbola
Focos.- Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal.- Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario.- Es la mediatriz del segmento.
Centro.- Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices.- Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje principal o real.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores.- Son los segmentos que van desde un punto
de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal.- Es el segmento de longitud 2c.
Eje mayor.- Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor.- Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría.- Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas.- Son las rectas de ecuaciones: Relación entre los semiejes.
Excentricidad de la hipérbola.-La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola.
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María de Lourdes Radillo Paz
PARÁBOLA
En el plano cartesiano, la parábola
corresponde al lugar geométrico formado por los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco
y una recta dada llamada directriz.
Dado un foco y una directriz, los puntos pertenecen a la parábola.
La distancia focal.- se obtiene trazando una
perpendicular que pase por _ , después se calcula la longitud del segmento
comprendido entre la directriz y el foco.
El punto que destaca de la parábola se llama
vértice, pues se distancia tanto del foco como de la directriz.
Geométricamente, corresponde al punto medio del segmento trazado para calcular la distancia focal.
Ecuación ordinaria
Supongamos que la directriz es una recta vertical paralela al eje de las ordenadas, que se encuentra al lado izquierdo de ésta. Si el vértice tiene coordenadas, entonces, las coordenadas del foco deben ser__ __ y la recta directriz.
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María de Lourdes Radillo Paz
¿Cómo se identifica desde la observación si es una circunferencia, parábola, elipse, hipérbola?
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María de Lourdes Radillo Paz
¿Qué es analizar una ecuación?
Respuesta:
Es estudiar la ecuación en partes, donde, con ayuda de herramientas algebraicas se puede saber el punto donde la línea o curva se interseca (corta o cruza), tanto con el eje de las “x” , como con el eje de la “y” o el origen de un plano cartesiano. Así mismo, saber si hay simetría con los ejes coordenados; aunado a conocer su extensión; saber si tiene asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas), para que después, se pueda realizar una tabulación y finalmente trazar y conocer su gráfica.
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María de Lourdes Radillo Paz
¿Qué es un lugar geométrico?
Respuesta:
Es ver el comportamiento que tiene la ubicación de varios puntos en un plano cartesiano, mismos que satisfacen una condición o ecuación, donde se toma como referencia los pares ordenados que se obtienen de la propia tabulación.
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María de Lourdes Radillo Paz
¿Qué se analiza de la ecuación?
Respuesta:
Se analiza:
a) Si es que hay intersección con el eje “x”
y el eje “y”;
b) Si sus trazos son simétricos con respecto
al eje “x” , el eje “y” y/o el origen;
c) Su extensión (despejando “y” (dominio de
la ecuación) y despejando ”x” (rango de
la ecuación));
d) Si tiene o no asíntotas y el tipo de
asíntotas (asíntotas verticales (x), asíntotas horizontales (y) y las
oblicuas);
e) Sus pares ordenados(x, y) obtenidos con la tabulación; f) Por último, se realiza la ubicación de dichos pares coordenados y ver el tipo de gráfica que se formó.
Saludos cordiales
María de Lourdes Radillo Paz
¿Cómo se obtiene la intersección?
Respuesta:
Para encontrar la Intersección con respecto al eje “y”: Se encuentra, trabajando la ecuación original, sustituyendo donde se encuentre “x” el valor de cero (x=0). Luego, se desarrolla lo que vaya quedando de la ecuación hasta despejar “x”. (En la otra aplicación ver ejemplos resueltos); B) Para encontrar la Intersección con respecto al eje “x”: Se encuentra, trabajando la ecuación original, sustituyendo donde se encuentre “y” el valor de cero (y=0). Luego, se desarrolla lo que vaya quedando de la ecuación hasta despejar “y”. (ver ejemplos resueltos más abajo en este blog).
Saludos cordiales
María de Lourdes Radillo Paz
¿Cómo se obtiene la simetría?
Respuesta:
Para encontrar la simetría con respecto al eje “x”: Ésta se encuentra, trabajando con la ecuación original, sustituyendo (y por –y) en cualquier término de la ecuación que tenga esta parte literal. Luego, se debe observar, si durante el desarrollo de este proceso hubieron cambios o diferencias entre la ecuación original y la ecuación final; B) Para encontrar la simetría con respecto al eje “y”: Ésta se encuentra, trabajando con la ecuación original, sustituyendo (x por –x) en cualquier término de la ecuación que tenga esta parte literal. Luego, se debe observar, si durante el desarrollo de este proceso hubieron cambios o diferencias entre la ecuación original y la ecuación final; C) Para encontrar la simetría con respecto al origen: Ésta se encuentra, trabajando con la ecuación original, sustituyendo (y por –y) y (x por –x) en cualquier término de la ecuación que tenga esta parte literal. Luego, se debe observar, si durante el desarrollo de este proceso hubieron cambios o diferencias entre la ecuación original y la ecuación final.
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María de Lourdes Radillo Paz
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